DERET

Deret aritmetika

Deret aritmatika dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, ..... Deret aritmatika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

Dalam hal ini suku ke-n:

Jumlah semua suku:

Misalnya, jumlah semua suku dari suatu suku dengan bentuk a_n = 3 + (n-1)(5) sampai suku ke-50 adalah

1) Pola Bilangan

A. Pengertian  Pola bilangan

Pola Bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu.  Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

B. Jenis dan Bentuk Pola Bilangan

a) Pola Bilangan Ganjil

o

o

o o

o

o

o o o

berikut pola titik" yang menyatakan suatu bilangan ganjil yang dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 1, 3, 5, dst

b) Pola Bilangan Genap

o o

o

o o o

o

o

o o o o 

berikut pola titik" yang menyatakan suatu bilangan genap yang dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 2, 4, 6, dst

c) Pola Bilangan Segitiga Pascal

(Bentuk Segitiga) >> diperoleh dari penambahan baris diatasnya ..

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 ....

d) Pola Bilangan Persegi

o

o o

o o

o o o

o o o

o o o

Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n^2

e) Pola Bilangan Persegi Panjang

o o

o o o

o o o

o o o o

o o o o

o o o o

Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)

f) Pola bilangan segitiga

Bentuk segitiga sama sisi >>

o

o

o o

o

o o

o o o

... Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

2. Barisan Bilangan

Jenis-jenis barisan bilangan :

a. Barisan Bilangan Genap

Barisan: 2, 4, 6, 8, ...

Deret: 2 + 4 + 6 + 8 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 2n

Jumlah n suku pertama: Sn = n² + n

b. Barisan Bilngan Ganjil 

Barisan: 1, 3, 5, 7, 9, …

Deret: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 2n – 1

Jumlah n suku pertama: Sn = n²

c. Barisan Bilangan Persegi ( Kuadrat )

Barisan: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Deret: 1 + 4 + 9 + 25 + 36 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n²

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )

d. Barisan Bilngan Kubus ( Kubik )

Barisan: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …

Deret: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n³

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²

e. Barisan Bilangan Segitiga

Barisan: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

Deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

f. Barisan Bilangan Persegi Panjang

Barisan: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …

Deret: 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

g. Barisan Bilangan Balok

Barisan: 6, 24, 60, 120, …

Deret: 6 + 24 + 60 + 120 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

h. Barisan Bilangan Fibonacci

Barisan Bilangan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya.

Barisan:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Deret: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + …

Rumus Suku ke-n: Un = Un - 1 + Un – 2

C. Barisan dan Deret Aritmatika

1) Barisan Aritmatika

 Barisan Aritmatika adalah barisan dimana suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda (b).

 Bentuk umum :: a , a+b , a+2b , a+3b , ... , a+(n-1)b

beda (b) = U2-U1 = U3-U2 = .... = Un-U(n-1)

Un = a+(n-1)b 

dengan :

a = suku pertama

b = beda ( selisih )

n = banyaknya suku

Un = suku ke-n yaitu suku terakhir

2) Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah semua suku pada barisan aritmatika. 

Bentuk umum :: a + (a+b) + (a+2b) + ... + a+(n-1)b

Jumlah n suku pertama deret aritmatika Sn , Sn = n/2 (a+Un) atau Sn = n/2 (2a+(n-1)b)

deret barisan aritmatika bermacam – macam, yang penting barisan yang di buat memenuhi syarat tersebut, contohnya adalah sebagai berikut : Deret: 1, 5, 9, 13, 17, …

dapatkah kawan – kawan meneruskannya ? iya’, mudah sekali,karena apa ? kita mengetahui polanya,yaitu mempunya beda 4,dan suku selanjutnya adalah 21, 25, … dan barisan aritmatika juga dapat kita batasi sendiri yang penting memenuhi syarat tadi…….

sebetulnya barisan aritmatika mempunya banyak macam, tapi kita anak smp hanyalah ini yang di ajari di sekolah, untuk sekedar pengayaan, ada juga aritmatika tingkat 2, kalau itu tadi tingkat 1.

 Secara umum dapat di tulis :

Rumus Suku ke-n : Un = an² + bn + c

tapi kita harus mencari dulu nilai a, b, dan c, hanya sebagai ilmu tambahan aja ^^ .. lain kali kita bahas ya :D

3. Sifat Barisan dan Deret Aritmetika

a) Jika U1, U2, U3, U4 -> barisan aritmetika maka berlaku :

>> 2 U2 = U1 + U3

>> U2+U3 = U1+U4

b) Hubungan antara Un dan Sn

Un = Sn - S(n-1)

c) Sisipan pada barisan artimatika

apabila diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah : b' = b / (k+1) 

dengan :

b' = beda setelah sisipan

b = beda sebelum sisipan

k = banyak suku sisipan 

banyaknya suku baru setelah sisipan adalah: n' = n+(n-1)k 

dengan :

n' = banyak suku setelah sisipan

n = banyak suku sebelum sisipan

k = banyaknya suku sisipan

Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah : Sn' = n'/2 (2a+(n'-1)b')

ex : Diantara 5 dan 50 disisipi 8 bilanagn sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan tersebut .. jawab : beda sebelum sisipan = b = 50-5 = 45 beda sesudah sisipan  b' = b / (k+1) = 45/(8+1) = 45/9 = 5 jadi barisan yg dibentuk : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

4. Suku Tengah Aritmatika

Ut = (a+Un)/2

dengan :

Ut = suku tengah

Un = suku ke-n

a = suku pertama

D. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dimana suku-suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu rasio (r)

Bentuk umum :: a , ar, ar^2 , ... , ar^(n-1)

r = U2/U1 = U3/U2 = ... = Un/U(n-1)

Un = ar^(n-1) 

dengan :

a = U1 = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

untuk r

untuk r>1 disebut geometri naik (barisan divergen)

2) Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah semua suku pada barisan geometri, 

Bentuk umum :: a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1).

Jumlah n suku pertama deret geo (Sn)

Sn = a[(r^n - 1)/(r-1)] , r>1

Sn = a[(1 - r^n)/(1-r)] , r

Jika nilai rasio (r) adalah 0 < r < 1 maka jumlah n suku sampai tak hingga adalah :

S~ =a/(1-r) dengan :

a= suku pertama

r = rasio

3. Sifat Barisan dan Deret Geometri

a) Jika U1, U2, U3, U4 adalah barisan geometri

>> (U2)^2 = U1 * U3

>> U1 * U4 = U2 * U3

b) Hubungan antara Un dan Sn

Un = Sn - S(n-1)

c) Sisipan pada barisan geometri

apabila diantara dua suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru maka rasio baru setelah sisipan adalah : r' = (k+1)'V(r) = (k+1) akar pangkat dari r

dengan:

r' = rasio setelah sisipan

r = rasio sebelum sisipan

k = banyaknya suku sisipan

banyaknya suku baru setelah sisipan adalah  n' = n+(n-1)k

dengan :

n' = banyaknya suku setelah sisipan

n = banyaknya suku sebelum sisipan

k = banyknya suku sisipan

jumlah n suku pertama setelah sisipan :

Sn' = a [{(r')^(n'-1)} / (r' - 1) ] , r'>1

Sn' = a[{1 - (r')^n} / (1-r') ] , r' < 1

4. Suku tengah geometri

Ut = V(a. Un)

Ut:suku tengah

a : suku pertama

Un: suku ke-n

DERET TAK BERHINGGA

p Deret tak berhingga adalah jumlah dari suatu barisan dengan suku ke n adalah sampai pada batas yang tak terhingga ~ . ∑  a_n disebut deret tak berhingga. n=1 karena suku ke n yang diinginkan sampai batas tidak terhingga .

Deret konvergen dan divergen

p Deret konvergen jika barisan {Sn} dari jumlah parsial ke n adalah konvergen

p Deret divergen jika barisan {Sn} dari jumlah parsial ke n adalah divergen

p   a₁ + a₂ + …+ a_n = S

    jika {Sn} divergen ke ~ maka deret divergen ke ~

   jika {Sn} konvergen ke S maka deret konvergen ke S atau jumlahnya sama dengan S

p Deret Geometri = a + ar + ar²+….+arⁿ

konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1 jika a = 0 dan lrl < 1 maka ~

∑  ar ^n-1 = 1 / (1-r)

n=1  jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH   DIVERGEN

p  DERET  “P” DERET P ADALAH

1 + 1/2^P + 1/3^P + ….+1/N^P

p Deret akan konvergen jika p > 1

p Dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1

p  Jika p =1 deret menjadi  1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret

harmonis dan  akan divergen ke ~.

DERET EKSPONEN

p Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r²/2!+…+ r ^n-1/(n-1)!

p Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r

p Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

SIFAT DASAR DERET

Jika ∑  an dan ∑  bn merupakan dua deret

n=1                n=1

yg konvergen dan k konstanta  maka:

    

1.       ∑ (an + bn ) konvergen

2.    ∑ k an konvergen

TES KONVERGENSI

1.   Test Deret

      ∑  an      akan divergen jika lim an = 0

      n=1          akan konvergen jika lim an=0

2. Test Leibnitz

    Deret berayun : a₁–a₂+a₃-…+(-1)^n-1 a  + …. dgn a_n semuanya pos / neg konvergen jika :

     i.   a_n  ≥  a _n+1 utk setiap n

    ii.   Lim a_n =

Test Perbandingan

Deret Positif :

    ∑   an    konvergen jika ada

Konvergen positif

    ∑ bn     sedemikian hingga an ≤ bn

Divergen positif  sede,ikiam hingga an ≥ bn

Test Rasio Untuk Deret positif

Pada deret positif

       ∑   an

Jika   :  Lim     a_n+1     < 1, konvergen an > 1, divergen = 1 test gagal

Test Rasio Umum

Pada sembarang deret tk berhingga :

     ∑ a_n   dgn    an ≠ 0, utk setiap n

Maka jika

Lim   an+1   < 1, deret konvergen mutlak  ~    

 an  > 1, deret divergen = 1 , atau tdk ada, test gagal

Test Integral

Andaikan  :   f(x) continu, tidak negatif dan turun untuk 1 ≤ x ≤~

Maka deret:

             ∑  f(n)   konvergen

Jika     ∫ f(x) dx  konvergen

Test akar ke n

Jika:

   Lim  √ lunl   = A

Maka :

            ∑  un

1. Konvergen mutlak kalau A < 1
2. Divergen kalau A> 1
3. Tak dpt disimpulkan kalau A=1

Konvergensi mutlak

Deret    :    a1+a2+…+an+… disebut konvergen mutlak jika

Deret    : a1 +  a2   +  …. + an   konvergen

Theorama : Jika suatu deret konvergen mutlak maka deret tersebut juga konvergen.  Suatu deret yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak disebut konvergen bersyarat.

DERET   FUNGSI

Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya adalah suatu fungsi yaitu :

∑ f_n(x) = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) +…….

Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit . L(x) dinamakan jumlah deret fungsi

S_n(x) = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) +…….

Untuk x dalam daerah konvergensi   L(x) =Lim S_n (x)

Selisih L dan Sn dinamakan sisa   Rn (x) = L(x) – S_n(x)

DERET  PANGKAT/deret kuasa

•        Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi pangkat c_nxⁿ

                     ^∑   = c₀ + c₁x + c₂x² + ….

•        Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum.

•        Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu :

c_o + c₁(x-a)+c₂(x-a)²+….

Daerah konvergensi

Daerah konvergensi untuk deret pangkat dalam (x-a) dpt diperoleh dengan :

-R < x-a < R atau a-R < x < a+R

Dimana Lim   c_n  =  R  

Titik x = a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergen atau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen.

THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE

Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga :

1. f(x),f’(x),f’’(x),…f^(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang {a,a+h}
2. f⁽ⁿ⁾(x) ada dlm selang {a,a+h} maka

             f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h² f’’(a)+…h^(n-1)f^(n-1)(a)+Rn

Dimana

Rn = hⁿ/n! f⁽ⁿ⁾ (a+θh) :   0< θ <1

Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange

DERET  TAYLOR

•        Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret pangkat dari (x-a) maka :

f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)² f’’(a)+(x-a)³f’’’(a)+(x-a)⁴f’’’’+…

                                                                      

•        Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka  sisa : 

S = f(a)

             jika polinomial f(x) dibagi (x-a)² maka sisa :

S = f(a)+(x-a) f’(a)

•        Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k dari persm polinomial f(x) = 0 adalah:

             f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f^(k-1)(a) = 0   dan f^k(a) ≠ 0.

DERET MC LAURIN

Merupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0,

Maka :

f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)² f’’(a)+(x-a)³f’’’(a)+(x-a)⁴f’’’’+..

Sehingg dengan a = 0 maka:

f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)²/2! f’’(0)+ (x-0)³ /3!  f’’’(0)+..

=f(0)+xf’(0)+x²/2! f’’(0)+ x³/3! f’’’(0)+..

DERET BINOMIAL

Merupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk

f(x) =(1+x)^m, dgn m bil riil,

Sehingga  :

   f(x)  =(1+x)^{m           :} f(0) =1

   f(x)’ = m(1+x)^m-1  : f’(0) = m

   f(x)’’=m(m-1)(1+x)^m-2 : f’’(0) = m(m-1)

   f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)^m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2)

Maka :

(1+x)^m = 1+mx+m(m-1)/2! x²+m(m-1)(m-2)/3! x³+.. Dengan    x < 1 disebut deret binomial